Modallogik/Modell/Realisiere Ausdruck/Aufgabe/Lösung

1. Wir betrachten das Modell bestehend aus den vier Welten $u,v,w,z$ mit der Erreichbarkeitsrelation

   $Rwz,Rwu,Rvu$

   und der Belegung

   $z\models p,u\models \mathrm{\neg }p$

   (die Belegung von $p$ auf $v,w$ ist irrelevant). Dann gilt

   $z\models ◻p,u\models ◻p,$

   da es für diese beiden Welten keine erreichbaren Welten gibt. In allen von $w$ aus erreichbaren Welten gilt somit $◻p$ und daher

   $w\models ◻◻p.$

   Ferner gilt

   $w\models ◊p$

   wegen der Erreichbarkeit $Rwz$ und

   $w\models ◊\mathrm{\neg }p$

   wegen der Erreichbarkeit $Rwu$ und auch

   $v\models ◊\mathrm{\neg }p,$

   also

   $v\models \mathrm{\neg }◻p,$

   wegen der Erreichbarkeit $Rvu$.

2. Wir behaupten, dass die Anforderungen nicht mit weniger als vier Welten realisierbar sind. Nach Voraussetzung müssen $v$ und $w$ verschieden sein. Wegen

   $w\models ◊\mathrm{\neg }p\text{ und }v\models ◊\mathrm{\neg }p$

   kann von $w$ weder $v$ noch $w$ selbst erreichbar sein, da dies ein Widerspruch zu $w\models ◻◻p$ ergeben würde. Zugleich braucht man, um die Gültigkeit von $w\models ◊p$ und $w\models ◊\mathrm{\neg }p$ zu realisieren, zwei von $w$ aus erreichbare Welten, also insgesamt mindestens vier Welten.

Zur gelösten Aufgabe