Modallogik/Modell/Realisiere Ausdruck/Aufgabe/Lösung

1. Wir betrachten das Modell bestehend aus den vier Welten ${}u,v,w,z$ mit der Erreichbarkeitsrelation

   $Rwz,Rwu,Rvu$

   und der Belegung

   $z\vDash p,\,u\vDash \neg p$

   (die Belegung von ${}p$ auf ${}v,w$ ist irrelevant). Dann gilt

   $z\vDash \Box p,\,u\vDash \Box p,$

   da es für diese beiden Welten keine erreichbaren Welten gibt. In allen von ${}w$ aus erreichbaren Welten gilt somit ${}\Box p$ und daher

   $w\vDash \Box \Box p.$

   Ferner gilt

   $w\vDash \Diamond p$

   wegen der Erreichbarkeit ${}Rwz$ und

   $w\vDash \Diamond \neg p$

   wegen der Erreichbarkeit ${}Rwu$ und auch

   $v\vDash \Diamond \neg p,$

   also

   $v\vDash \neg \Box p,$

   wegen der Erreichbarkeit ${}Rvu$.

2. Wir behaupten, dass die Anforderungen nicht mit weniger als vier Welten realisierbar sind. Nach Voraussetzung müssen ${}v$ und ${}w$ verschieden sein. Wegen

   $w\vDash \Diamond \neg p\,\,{\text{ und }}\,\,v\vDash \Diamond \neg p$

   kann von ${}w$ weder ${}v$ noch ${}w$ selbst erreichbar sein, da dies ein Widerspruch zu ${}w\vDash \Box \Box p$ ergeben würde. Zugleich braucht man, um die Gültigkeit von ${}w\vDash \Diamond p$ und ${}w\vDash \Diamond \neg p$ zu realisieren, zwei von ${}w$ aus erreichbare Welten, also insgesamt mindestens vier Welten.

Zur gelösten Aufgabe