Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ euklidisch und sei

$w\models ◊\alpha .$

Somit gibt es eine Welt $v$ mit $wRv$ und mit

$v\models \alpha .$

Es sei $z$ eine Welt mit $wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch $zRv$, daher ist

$z\models ◊\alpha .$

Somit ist

$w\models ◻◊\alpha .$

Es sei nun $R$ nicht euklidisch und seien  $w,v,z\in M$  Punkte mit $wRv$, $wRz$, aber nicht $vRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $\mathrm{\neg }p$ in allen von $v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$z\models p$

und somit

$w\models ◊p.$

In $v$ gilt hingegen $◻\mathrm{\neg }p$, also

$v\models \mathrm{\neg }◊p.$

Somit gilt

$w\models \mathrm{\neg }◻◊p$

und damit

$w\models ̸◊p\to ◻◊p.$

Zur bewiesenen Aussage