Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit

Sei zunächst vorausgesetzt, dass die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei und

Dann gibt es eine Welt mit und mit

Wir betrachten Ketten mit . Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in . In gilt dann

Wegen der Transitivität ist von aus erreichbar und somit ist

Sei nun vorausgesetzt, dass nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form gegeben. Wir belegen für alle und für alle anderen Welten. Dann gilt

da außerhalb der Kette stets gilt und innerhalb der Kette stets gilt.
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