Modallogik/Rahmen/Möglichkeit/Seriellität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in ${}R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei

$w\vDash \Box \alpha$

für eine Welt ${}w\in M$. Es sei ${}v\in M$ mit ${}wRv$. Dann ist

$v\vDash \alpha$

und somit

$w\vDash \Diamond \alpha ,$

also

$w\vDash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Es sei umgekehrt angenommen, dass ${}M$ eine Sackgassenwelt ${}w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable ${}p$

$w\vDash \Box p,$

aber

$w\not \vDash \Diamond p,$

und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.

Zur bewiesenen Aussage