Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ symmetrisch und sei

$w\vDash \alpha .$

Es sei eine von ${}w$ aus erreichbare Welt ${}v$ gegeben, also ${}wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch ${}vRw$ und somit ist

$v\vDash \Diamond \alpha .$

Also ist

$w\vdash \Box \Diamond \alpha .$

Wenn ${}R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien ${}w,v\in M$ Welten mit ${}wRv$, aber nicht ${}vRw$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und es sei ${}\mu$ die Belegung, bei der

$w\vDash p$

gelte und so, dass in allen von ${}v$ aus erreichbaren Welten ${}z\vDash \neg p$ gelte. Dann ist

$v\vDash \neg \Diamond p,$

und somit ist

$w\not \vDash \Box \Diamond p,$

also

$w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.$

Zur bewiesenen Aussage