Modallogik/Rahmen/Transitivität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ transitiv und sei

$w\vDash \Box \alpha .$

Es sei ${}wRv$ und ${}vRz$ und somit

$z\vDash \alpha .$

Also ist

$v\vDash \Box \alpha .$

und damit

$w\vDash \Box \Box \alpha .$

Es sei nun ${}R$ nicht transitiv und seien ${}w,v,z\in M$ Punkte mit ${}wRv$, ${}vRz$, aber nicht ${}wRz$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und sei ${}\mu$ die Belegung, bei der ${}p$ in allen von ${}w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$w\vDash \Box p$

und

$v\not \vDash \Box p,$

da ja ${}z\not \vDash p$, und somit ist

$w\not \vDash \Box \Box p,$

also

$w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.$

Zur bewiesenen Aussage