Modallogische Ausdrucksmenge/Keine endliche Realisierung/1/Beispiel

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die modallogische Ausdrucksmenge, die durch

${}\alpha _{n}=\Diamond (p_{1}\wedge \ldots \wedge p_{n-1}\wedge \neg p_{n})\,$

gegeben ist. Da sich die Ausdrücke, die innerhalb des ${}\Diamond$-Operators von ${}\alpha _{n}$ stehen, gegenseitig ausschließen, braucht man zur Realisierung von ${}\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}$ mindestens ${}n$ Punkte. Daher ist

${}\Gamma ={\left\{\alpha _{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,$

nicht durch einen endlichen gerichteten Graphen erfüllbar. Die Ausdrucksmenge ist aber problemlos durch einen unendlichen gerichteten Graphen erfüllbar: Es seien ${}W_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, die unendlich vielen Welten, in ${}W_{n}$ gilt ${}p_{1}\wedge \ldots \wedge p_{n-1}\wedge \neg p_{n}$ (die Wahrheitsbelegung ist ansonsten unerheblich) und jede Welt sei von jeder Welt aus erreichbar.