Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Existenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Menge aller Annullatoren

Nach Voraussetzung ist diese Menge nicht leer und besteht aus Idealen, die alle vom Einheitsideal verschieden sind. Diese Menge ist induktiv geordnet, da jede aufsteigende Kette darin wegen noethersch stationär wird. Nach dem Lemma von Zorn besitzt die Menge somit maximale Elemente. Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei also

maximal und sei , also

Es sei , also , und somit ist zu zeigen. Es ist

und gehört zu unserer Menge. Wegen der Maximalität von muss also hier Gleichheit vorliegen. Wegen ist damit auch .