Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes assoziierte Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gibt es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Somit besteht ${}{\mathfrak {p}}$ aus Nullteilern von ${}M$. Es sei umgekehrt ${}f\in R$ ein Nullteiler von ${}M$. Das bedeutet, dass es ein ${}v\in M$, ${}v\neq 0$, mit ${}fv=0$ gibt. Insbesondere ist

${}f\in \operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,.$

Wenn man das Argument im Beweis zu Fakt auf die Annullationsideale ober halb von ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ durchführt, so erhält man darin auch ein assoziiertes Primideal, das ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ und damit ${}f$ enthält.

Zur bewiesenen Aussage