Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten das durch die (multiplikativ geschriebenen) Gleichungen

$Z^{2}=XY,\,X^{2}=X,\,Y^{2}=Y$

gegebene kommutative Monoid. Es ist nicht kürzbar und auch nicht torsionsfrei, da

${}Z^{2}=XY=(XY)^{2}\,,$

aber

${}Z\neq XY\,$

ist. Die kombinatorischen Primideale sind

$(\infty ),(X,Z),(Y,Z),(X,Y,Z),$

die kombinatorische Dimension ist ${}2$ und das punktierte Spektrum wird von ${}D(X)$ und ${}D(Y)$ überdeckt mit dem Durchschnitt

${}D(X)\cap D(Y)=D(XY)=D(Z)\,.$

Wir bestimmen den Picard-Cech-Komplex für die Einheiten zu dieser Überdeckung. Es ist

${}M_{X}=\langle Z\rangle /(Z^{4}=Z^{2})\,,$

da zunächst aus ${}X^{2}=X$ sofort ${}X=1$ folgt, wenn ${}X$ eine Einheit ist. Damit ist ${}Z^{2}=Y$ und man kann ${}Y$ eliminieren und aus ${}Y^{2}=Y$ ergibt sich die angegebene Gleichung. Entsprechend ist

${}M_{Y}=\langle Z\rangle /(Z^{4}=Z^{2})\,.$

Diese Monoide sind positiv, verfügen also außer der ${}1$ über keine Einheiten (obwohl es Nenneraufnahmen sind). Ferner ist

${}M_{Z}=\langle Z\rangle /(Z^{2}=1)\,.$

Daher ist ${}Z\neq 1$ eine Einheit in ${}M_{Z}$ und der Picard-Cech-Komplex ist (additiv geschrieben)

$0\oplus 0\longrightarrow \mathbb {Z} /(2).$

Das bedeutet, dass ${}Z$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}H^{1}(D(X,Y),{\mathcal {O}}^{\times })=\operatorname {Pic} ^{\times }M$ definiert. Insbesondere gibt es nichttriviale Geradenbündel über dem punktierten kombinatorischen Spektrum.

Dagegen ist für einen beliebigen Körper ${}K$ die lokale Picardgruppe des Monoidringes ${}K[M]$ trivial, da diese Ringe nulldimensional sind. Für einen ${}K$-wertigen Punkt besitzt nämlich ${}X$ (und ebenso ${}Y$) die möglichen Werte ${}0,1$ und ${}Z$ die möglichen Werte ${}-1,0,1$ (die Punkte sind ${}(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(1,1,-1$). Die endlich erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[M]$ besitzt also nur endlich viele Punkte und ist somit nulldimensional.