Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe/Lösung

Die Einheiten sind genau die Elemente der Form

$aX^{q}{\text{ mit }}a\neq 0{\text{ und }}q\in \mathbb {Q} .$

Solche Elemente sind Einheiten, da ja

${}{\left(aX^{q}\right)}{\left(a^{-1}X^{-q}\right)}=X^{q}X^{-q}=X^{q-q}=X^{0}=1\,$

gilt. Wenn umgekehrt  ${}P=a_{q_{1}}X^{q_{1}}+a_{q_{2}}X^{q_{2}}+\cdots +a_{q_{n}}X^{q_{n}}$  mit ${}q_{1}<q_{2}<\ldots <q_{n}$ eine Einheit ist, so gibt es ein  ${}Q=b_{r_{1}}X^{r_{1}}+b_{r_{2}}X^{r_{2}}+\cdots +b_{r_{m}}X^{r_{m}}$  mit entsprechend ${}r_{1}<r_{2}<\ldots <r_{m}$ und mit

${}PQ=1\,.$

Dabei seien die angeführten Koeffizienten ${}\neq 0$. Das Produkt ist daher von der Form

$a_{q_{1}}b_{r_{1}}X^{q_{1}+r_{1}}+\cdots +a_{q_{n}}b_{r_{m}}X^{q_{n}+r_{m}}.$

Dies kann nur dann gleich ${}1$ sein, wenn

${}q_{1}+r_{1}=q_{n}+r_{m}\,$

ist, was nur bei  ${}n=m=1$ 

möglich ist.

Zur gelösten Aufgabe