Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe/Lösung

Die Teiler von $X$ sind genau die Elemente der Form

a X^{q} mit a \neq 0 und q \in ℚ_{\geq 0}, q \leq 1.

Solche Elemente sind Teiler, da ja

(a X^{q}) (a^{- 1} X^{1 - q}) = X^{q} X^{1 - q} = X^{q + 1 - q} = X

gilt. Wenn umgekehrt $P = a_{q_{1}} X^{q_{1}} + a_{q_{2}} X^{q_{2}} + \dots + a_{q_{n}} X^{q_{n}}$ mit $0 \leq q_{1} < q_{2} < \dots < q_{n}$ ein Teiler von $X$ ist, so gibt es ein $Q = b_{r_{1}} X^{r_{1}} + b_{r_{2}} X^{r_{2}} + \dots + b_{r_{m}} X^{r_{m}}$ mit entsprechend $0 \leq r_{1} < r_{2} < \dots < r_{m}$ und mit

P Q = X .

Dabei seien die angeführten Koeffizienten $\neq 0$ . Das Produkt ist daher von der Form

a_{q_{1}} b_{r_{1}} X^{q_{1} + r_{1}} + \dots + a_{q_{n}} b_{r_{n}} X^{q_{n} + r_{m}} .

Dies kann nur dann gleich $X$ sein, wenn

q_{1} + r_{1} = q_{n} + r_{m}

ist, was nur bei $n = m = 1$

möglich ist.

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