Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ der kommutative Ring, der aus allen Ausdrücken der Form

$a_{1}X^{q_{1}}+a_{2}X^{q_{2}}+\cdots +a_{n}X^{q_{n}}$

mit ${}a_{i}\in K$ und ${}q_{i}\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{q}\cdot X^{p}:=X^{p+q}\,$

gegeben ist. Zeige, dass in ${}R$ das Element ${}X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

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