Monoidringe/Dimension zwei/Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

${}X^{2}Z=Y^{2}\,$

gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei

${}M=\langle (1,0),(1,1),(0,2)\rangle \subset \mathbb {N} ^{2}\,.$

Wegen ${}(1,1)-(1,0)=(0,1)$ ist ${}\mathbb {Z} ^{2}$ das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da ${}2(0,1)=(0,2)\in M$ ist, muss ${}\mathbb {N} ^{2}$ die Normalisierung von ${}M$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto m_{i}.$

Diese monomiale Abbildung ${}\mathbb {N} ^{3}\rightarrow M\subset \mathbb {N} ^{2}$ bedeutet geometrisch die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto (s,st,t^{2}).$

Dabei gehen (monomial gesehen) ${}2e_{1}+e_{3}$ und ${}2e_{2}$ beide auf das Element ${}(1,1)$, und das liefert die Gleichung ${}X^{2}Z=Y^{2}$, die man natürlich auch direkt ablesen kann.

Man kann die definierende Gleichung auch als ${}Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}$ ansehen. Von ${}K[X,Y]$ ausgehend wird also ein Quadrat zu ${}{\frac {Y}{X}}$ adjungiert.