Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^3/Beispiel

Wir betrachten die beiden binomialen Gleichungen

${}XY=Z^{3}\,$

und

${}X^{2}Z=Y^{3}\,$

in den drei Variablen ${}X,Y,Z$ und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde

${}V=V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$

ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade

${}V(Y,Z)={\left\{(x,0,0)\mid x\in K\right\}}\,$

zu ${}V$. Dies kann aber nicht ganz ${}V$ sein, da der Punkt ${}(1,1,1)$ zu ${}V$ gehört. Wenn in einem Punkt

${}P=(x,y,z)\in V\,$

die Koordinate ${}y\neq 0$ ist, so sind auch ${}x,z\neq 0$. Dort gilt also

${}x={\frac {z^{3}}{y}}\,$

und damit

${}x^{2}={\frac {z^{6}}{y^{2}}}={\frac {y^{3}}{z}}\,,$

also

${}z^{7}=y^{5}\,.$

In der Tat gehört auch das Polynom

${}Y^{5}-Z^{7}=Z{\left(XY+Z^{3}\right)}{\left(XY-Z^{3}\right)}-Y^{2}{\left(X^{2}Z-Y^{3}\right)}\in {\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$

zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen ${}Y$ und ${}Z$ vorkommen. Sei nach wie vor ${}(x,y,z)$ ein Punkt von ${}V$, für den sämtliche Komponenten nicht ${}0$ sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen

${}x^{5}=z^{8}\,$

und

${}x^{7}=y^{8}\,.$

Allerdings gehören die Polynome ${}X^{5}-Z^{8}$ und ${}X^{7}-Y^{8}$ nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion

$V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\subseteq V(Y,Z)\cup V{\left(Y^{5}-Z^{7},X^{5}-Z^{8},X^{7}-Y^{8}\right)}\,$

gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung

$K\longrightarrow K^{3},\,t\longmapsto \left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right).$

Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten ${}t\in K$. Da die Bildpunkte ${}\left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right)$ auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve.