Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^3/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten die beiden binomialen Gleichungen

und

in den drei Variablen und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde

ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade

zu . Dies kann aber nicht ganz sein, da der Punkt zu gehört. Wenn in einem Punkt

die Koordinate ist, so sind auch . Dort gilt also

und damit

also

In der Tat gehört auch das Polynom

zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen und vorkommen. Sei nach wie vor ein Punkt von , für den sämtliche Komponenten nicht sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen

und

Allerdings gehören die Polynome und nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion

gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung

Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten . Da die Bildpunkte auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve.