Es sei 
ein
kommutativer Ring. Auf ![{\displaystyle {}K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f27b26ecb1a1ee68594760310bb883c466d1305)
kann man folgendermaßen eine
Hopf-Struktur erklären. Die
Komultiplikation wird durch
-
![{\displaystyle \Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fd6c3b07f868a4db7b8ed2b919d31167d87fd2)
erklärt. Die
Koeinheit wird durch
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![{\displaystyle K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0819eea4d40301c89dce799bff09a6db2bf9c7)
festgelegt und das
Koinverse
ist durch
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![{\displaystyle K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76a2a97ccfb01849ff8c7c14ed4f7baf909ed5)
definiert. Nach
Aufgabe
ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.
