N/Arithmetisch repräsentierbar/Ausdruck/Quadratwurzel oder 0/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}\alpha :={\left(x=y\cdot y\right)}\vee {\left(\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}\wedge y=0\right)}\,$

und müssen zeigen, dass ${}F(n)=m$ genau dann gilt, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ gilt. Diese Äquivalenz beweisen wir durch eine doppelte Fallunterscheidung.

1.1. ${}n$ ist eine Quadratzahl und ${}m$ ist die Quadratwurzel aus ${}n$. Dann ist einerseits ${}F(n)=m$. Andererseits ist ${}\mathbb {N} \vDash {\left(x=y\cdot y\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$. Daher gilt auch ${}\alpha$ bei dieser Belegung.

1.2. ${}n$ ist eine Quadratzahl und ${}m$ ist nicht die Quadratwurzel aus ${}n$. Dann ist einerseits ${}F(n)\neq m$. Andererseits ist ${}\mathbb {N} \vDash {\left(\neg {\left(x=y\cdot y\right)}\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$. Da ${}n$ eine Quadratzahl ist, gilt die Aussage ${}\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}{\frac {n}{x}}$ in ${}\mathbb {N}$ nicht. Daher gelten beide durch ${}\vee$ verbundenen Teilaussagen von ${}\alpha$ nicht und somit gilt ${}\alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ nicht.

2.1. ${}n$ ist keine Quadratzahl und ${}m$ ist ${}0$. Dann ist einerseits ${}F(n)=m$. Andererseits gelten die Aussagen ${}\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}{\frac {n}{x}}$ und ${}{\left(y=0\right)}{\frac {0}{y}}$ und somit gilt ${}\alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ in ${}\mathbb {N}$.

2.2. ${}n$ ist keine Quadratzahl und ${}m$ ist nicht ${}0$. Dann ist einerseits ${}F(n)\neq m$. Andererseits gilt in ${}\mathbb {N}$ die Aussage ${}{\left(x=y\cdot y\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ und die Aussage ${}{\left(y=0\right)}{\frac {m}{y}}$ nicht. Somit gilt auch ihre ${}\vee$-Verknüpfung nicht und daher ${}\mathbb {N} \not \vDash \alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$.

Zur gelösten Aufgabe