Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit ${}1$, die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

${}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,$

ist einfach

${\left(a_{0}+1\right)}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.$

Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt ${}\leq 9$ sein muss. Wenn ${}a_{0}\leq 8$ ist, so ist

${}a_{0}+1\leq 9\,$

und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen ${}a_{0}=9$ ist, so geht es um die Zahl

${}{\begin{aligned}n+1&=(9+1)+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=10+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=(a_{1}+1)\cdot 10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.\end{aligned}}$

Erneut gilt, dass bei ${}a_{1}\leq 8$ die Dezimalentwicklung vorliegt, bei ${}a_{1}=9$ muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) ${}s$ Ziffern ${}a_{0},\ldots ,a_{s-1}$ gleich ${}9$ sind und

${}a_{s}\neq 9\,$

(was den Fall einschließt, dass ${}n$ genau ${}s$ Ziffern hat, in welchem Fall ${}a_{s}$ als ${}0$ zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese ${}s$ Neunen durch Nullen ersetzt und ${}a_{s}$ um ${}1$ erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.

Zur bewiesenen Aussage