Natürliche Zahlen/3^n größer gleich n^3/Ab 1/Aufgabe/Lösung

Für $n=1,2,3$ ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für $n\ge 4$ wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein $n\ge 3$ schon bewiesen ist und haben sie für $n+1$ zu zeigen. Dies ergibt sich aus

$\begin{array}{cc}{3}^{n+1}& =3\cdot 3^n\\ & \ge 3n^3\\ & =n^3+n^3+n^3\\ & \ge n^3+3n^2+3n+1\\ & =(n+1{)}^3,\end{array}$

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung $n\ge 3$ und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.

Zur gelösten Aufgabe