Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe/Lösung

Beim Induktionsanfang ist  $n=1$,  daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der $1$, und daher ist die Summe $1$. Die rechte Seite ist  $\frac{1\cdot 2}{2}=1$,  sodass die Formel für  $n=1$  stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein  $n\ge 1$  gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für $n+1$ gilt. Dabei ist $n$ beliebig. Es ist

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}k& =\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\ & =\frac{n(n+1)}{2}+n+1\\ & =\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ & =\frac{(n+2)(n+1)}{2}.\end{array}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für $n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Zur gelösten Aufgabe