Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\cdot$ und ${}\star$ zwei Verknüpfungen auf ${}\mathbb {N}$, die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen

${}x\cdot y=x\star y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N}$ zeigen. Wir führen Induktion nach ${}x$. Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft

${}0\cdot y=0=0\star y\,$

ist. Es sei die Aussage für ein gewisses ${}x$ schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft

${}x^{\prime }\cdot y=x\cdot y+y=x\star y+y=x^{\prime }\star y\,.$

Zur bewiesenen Aussage