Wir betrachten Teilmengen
mit den Eigenschaften
.
- Für jedes
,
,
gibt es ein
mit
.
- Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung
-
mit
und
-

für alle
mit
.
Wir betrachten nun die Menge
-

Wir zeigen durch Induktion, dass
ist. Für
können wir
-

wählen, wobei
durch die erste Abbildungseigenschaft eindeutig festgelegt ist. Es sei nun
vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es
und eine Abbildung
mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Bei
sind wir fertig, sei also
.
Wir setzen
und wir definieren
-

Dies erfüllt die Eigenschaften und ist auch die einzige Möglichkeit, da die Einschränkung von
auf
wegen der Eindeutigkeit mit
übereinstimmen muss. Also ist
.
Wir zeigen nun durch Induktion über
, dass
unabhängig von der gewählten Menge
ist. Bei
ist dies klar, sei diese Aussage für ein gewisses
schon bekannt, und sei
mit zugehörigen Abbildungen
. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist
,
daher ist nach Induktionsvoraussetzung
-

Damit erhält man durch
-

mit einem beliebigen
eine wohldefinierte Abbildung auf ganz

mit den in der Formulierung des Satzes geforderten Eigenschaften. Die Eindeutigkeit von

ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Einschränkungen.