Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Beweis1

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Beweis

Wir zeigen zuerst durch Induktion über , dass es auf der Menge eine eindeutig bestimmte Abbildung

gibt, die die erste Bedingung und die zweite Bedingung für alle erfüllt. Bei besteht die Menge aus dem einzigen Element und dafür legt die erste Bedingung die Abbildung eindeutig fest. Sei die Aussage nun für bewiesen und betrachte . Es ist und die Bedingungen legen nach Induktionsvoraussetzung eine eindeutige Abbildung fest. Für das zusätzliche Element muss gelten, wodurch die Abbildung auch auf der größeren Menge eindeutig festgelegt ist.

Aufgrund der Eindeutigkeit gilt insbesondere, dass wenn man auf mit einschränkt, sich ergibt. Daher gilt auch, dass die zu konstruierende Abbildung eingeschränkt auf jeden Abschnitt mit übereinstimmen muss. Daher setzen wir , und diese Abbildung erfüllt die Eigenschaften für alle .

Zur bewiesenen Aussage