Beweis
Wir zeigen zuerst durch Induktion über
, dass es auf der Menge
eine eindeutig bestimmte Abbildung
-
gibt, die die erste Bedingung und die zweite Bedingung für alle
erfüllt. Bei
besteht die Menge aus dem einzigen Element
und dafür legt die erste Bedingung
die Abbildung eindeutig fest. Sei die Aussage nun für
bewiesen und betrachte
. Es ist
und die Bedingungen legen nach Induktionsvoraussetzung eine eindeutige Abbildung
fest. Für das zusätzliche Element
muss
gelten, wodurch die Abbildung auch auf der größeren Menge eindeutig festgelegt ist.
Aufgrund der Eindeutigkeit gilt insbesondere, dass wenn man
auf
mit
einschränkt, sich
ergibt. Daher gilt auch, dass die zu konstruierende Abbildung
eingeschränkt auf jeden Abschnitt
mit
übereinstimmen muss. Daher setzen wir
, und diese Abbildung erfüllt die Eigenschaften für alle
.