Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Aussage

$A(n)$ = Alle Teilmengen von $\mathbb{N}$, die $n$ enthalten, besitzen ein Minimum.

Da jede nichtleere Teilmenge mindestens ein  $n\in \mathbb{N}$  besitzt, ist die Aussage des Satzes äquivalent zur Gültigkeit von $A(n)$ für alle $n$. Diese Aussage können wir durch Induktion beweisen. Die Aussage $A(0)$ besagt, dass jede Teilmenge  $M\subseteq \mathbb{N}$,  die die $0$ enthält, auch ein Minimum enthält. Dies ist aber klar, da dann eben $0$ das Minimum ist. Es sei die Aussage $A(k)$ nun für alle  $k\le n$  schon bewiesen. Wir müssen $A(n+1)$ beweisen. Es sei also  $M\subseteq \mathbb{N}$  eine Teilmenge, die $n+1$ enthält. Wenn $M$ auch eine Zahl  $k<n+1$  besitzt, so besitzt $M$ nach der Induktionsvoraussetzung ein Minimum. Andernfalls besitzt $M$ keine Zahl, die kleiner als $n+1$ ist. Dann ist aber $n+1$ das Minimum von $M$.

Zur bewiesenen Aussage