Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Aussage

= Alle Teilmengen von , die enthalten, besitzen ein Minimum.

Da jede nichtleere Teilmenge mindestens ein besitzt, ist die Aussage des Satzes äquivalent zur Gültigkeit von für alle . Diese Aussage können wir durch Induktion beweisen. Die Aussage besagt, dass jede Teilmenge , die die enthält, auch ein Minimum enthält. Dies ist aber klar, da dann eben das Minimum ist. Sei die Aussage nun für alle schon bewiesen. Wir müssen beweisen. Sei also eine Teilmenge, die enthält. Wenn auch eine Zahl besitzt, so besitzt nach der Induktionsvoraussetzung ein Minimum. Andernfalls besitzt keine Zahl, die kleiner als ist. Dann ist aber das Minimum von .

Zur bewiesenen Aussage