Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/n gehört nicht zur Nachfolgermenge von n'/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$. Sei ${}n=0$. Wir behaupten, dass ${}N\setminus \{0\}$ eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die ${}0'$ enthält. Letzteres folgt sofort aus ${}0'\neq 0$. Sei ${}x\neq 0$. Dann ist insbesondere auch ${}x'\neq 0$, da ${}0$ gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist ${}N\setminus \{0\}$ induktiv abgeschlossen. Es sei nun ${}n\notin N_{\geq n'}$ bereits bewiesen und betrachten wir ${}n'$. Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon N_{\geq n'}\longrightarrow N_{\geq (n')'},\,x\longmapsto x'.$

Wäre ${}n'\in N_{\geq (n')'}$, so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also ${}n$, zu ${}N_{\geq n'}$ gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.

Zur bewiesenen Aussage