Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/n gehört nicht zur Nachfolgermenge von n'/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$. Sei  ${}n=0$.  Wir behaupten, dass ${}N\setminus \{0\}$ eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die ${}0'$ enthält. Letzteres folgt sofort aus  ${}0'\neq 0$.  Sei  ${}x\neq 0$.  Dann ist insbesondere auch  ${}x'\neq 0$,  da ${}0$ gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist ${}N\setminus \{0\}$ induktiv abgeschlossen. Es sei nun  ${}n\notin N_{\geq n'}$  bereits bewiesen und betrachten wir ${}n'$. Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon N_{\geq n'}\longrightarrow N_{\geq (n')'},\,x\longmapsto x'.$

Wäre  ${}n'\in N_{\geq (n')'}$,  so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also ${}n$, zu ${}N_{\geq n'}$ gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.

Zur bewiesenen Aussage