Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/n gehört nicht zur Nachfolgermenge von n'/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Sei  $n=0$.  Wir behaupten, dass $N\setminus \{0\}$ eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die $0^{\prime }$ enthält. Letzteres folgt sofort aus  $0^{\prime }\ne 0$.  Sei  $x\ne 0$.  Dann ist insbesondere auch  $x^{\prime }\ne 0$,  da $0$ gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist $N\setminus \{0\}$ induktiv abgeschlossen. Es sei nun  $n\notin N_{\ge n^{\prime }}$  bereits bewiesen und betrachten wir $n^{\prime }$. Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung

$\phi :N_{\ge n^{\prime }}⟶N_{\ge (n^{\prime }{)}^{\prime }},x⟼x^{\prime }.$

Wäre  $n^{\prime }\in N_{\ge (n^{\prime }{)}^{\prime }}$,  so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also $n$, zu $N_{\ge n^{\prime }}$ gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.

Zur bewiesenen Aussage