Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.

1. Ist klar wegen ${}a=0+a$.
2. Wir zeigen die Aussage ${}a=0$ oder ${}a\geq 1$ für alle ${}a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}a$. Für ${}a=0$ ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}a$ gelte. Dann ist ${}a=0$ oder ${}a\geq 1$. Im ersten Fall ist dann ${}1+a=1+0=1$ und insbesondere ${}1+a\geq 1$. Im zweiten Fall ist ${}a=b+1$ mit einem ${}b\in \mathbb {N}$ und damit ${}a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$.
3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage