Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.

1. Ist klar wegen  ${}a=0+a$. 
2. Wir zeigen die Aussage  ${}a=0$  oder  ${}a\geq 1$  für alle  ${}a\in \mathbb {N}$  durch Induktion über ${}a$. Für  ${}a=0$  ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}a$ gelte. Dann ist  ${}a=0$  oder  ${}a\geq 1$.  Im ersten Fall ist dann  ${}1+a=1+0=1$  und insbesondere  ${}1+a\geq 1$.  Im zweiten Fall ist  ${}a=b+1$  mit einem  ${}b\in \mathbb {N}$  und damit  ${}a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$. 
3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage