Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer natürlichen Zahl und einer natürlichen Zahl nennt man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

( Faktoren) die -te Potenz von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Zahl heißt in diesem Zusammenhang die Basis der Potenz und der Exponent. Bei ist dies als

zu verstehen. Dies gilt auch für , also , wobei man hier häufig auf eine Festlegung verzichtet. Für positive Exponenten ist jedenfalls

Wie gesagt, der Exponent bestimmt die Anzahl der Faktoren

die Anzahl der auszuführenden Multiplikationen ist um eins kleiner. Man kann aber auch von ausgehen und die Potenz als

auffassen. Als Rechenregeln für das Potenzieren halten wir die folgenden Eigenschaften fest.

Bei fixiertem Exponenten bilden die Potenzen

die Menge aller -ten Potenzen. Bei ist das die Menge der Quadratzahlen, bei die Menge der Kubikzahlen. Bei fixierter Basis bilden die Potenzen

die Menge aller -er Potenzen, also alle Zweierpotenzen, alle Dreierpotenzen, u.s.w.



Lemma

Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei und seien.

Beweis

Siehe Aufgabe.