Natürliche und ganze Zahlen/Rechengesetze/Zusammenfassung/Textabschnitt

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Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.

die Menge der natürlichen Zahlen (mit der ).

die Menge der ganzen Zahlen.

Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir erinnern.

Die Addition auf erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist

    für beliebige (alle) Zahlen , d.h. die Addition ist assoziativ.

  2. Es ist

    für beliebige Zahlen , d.h. die Addition ist kommutativ.

  3. Es gilt

    für jedes (man sagt, dass das neutrale Element der Addition ist).

  4. Zu jedem besitzt die Eigenschaft

    (man sagt, dass das negative Element zu ist).

Die Multiplikation auf erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist

    für beliebige (alle) Zahlen , d.h. die Multiplikation ist assoziativ.

  2. Es ist

    für beliebige Zahlen , d.h. die Multiplikation ist kommutativ.

  3. Es gilt

    für jedes (man sagt, dass das neutrale Element der Multiplikation ist).

Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt

für alle .

Auf den ganzen Zahlen ist die Größer/Gleich-Beziehung (oder Ordnungsbeziehung) definiert. Man schreibt , wenn mindestens so groß wie ist. Eine ganze Zahl ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn ist. Die Beziehung gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl mit gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen :

  1. Es ist (dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
  2. Aus und folgt (dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
  3. Aus und folgt (dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
  4. Aus folgt (dies nennt man die Additivität der Ordnung).
  5. Aus und folgt (dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
  6. Aus und (also negativ) folgt .

Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.