Natürliche und ganze Zahlen/Rechengesetze/Zusammenfassung/Textabschnitt

Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.

${}\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der natürlichen Zahlen (mit der ${}0$).

${}\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der ganzen Zahlen.

Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir erinnern.

Die Addition auf ${}\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}(a+b)+c=a+(b+c)\,$

   für beliebige (alle) Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist assoziativ.

2. Es ist

   ${}a+b=b+a\,$

   für beliebige Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist kommutativ.

3. Es gilt

   ${}a+0=a\,$

   für jedes ${}a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass ${}0$ das neutrale Element der Addition ist).

4. Zu jedem ${}a\in \mathbb {Z}$ besitzt ${}-a$ die Eigenschaft

   ${}a+(-a)=0\,$

   (man sagt, dass ${}-a$ das negative Element zu ${}a$ ist).

Die Multiplikation auf ${}\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\,$

   für beliebige (alle) Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist assoziativ.

2. Es ist

   ${}a\cdot b=b\cdot a\,$

   für beliebige Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist kommutativ.

3. Es gilt

   ${}a\cdot 1=a\,$

   für jedes ${}a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation ist).

Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt

${}a\cdot (b+c)={\left(a\cdot b\right)}+{\left(a\cdot c\right)}\,$

für alle ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Auf den ganzen Zahlen ist die Größer/Gleich-Beziehung (oder Ordnungsbeziehung) definiert. Man schreibt ${}a\geq b$, wenn ${}a$ mindestens so groß wie ${}b$ ist. Eine ganze Zahl ${}a$ ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn ${}a\geq 0$ ist. Die Beziehung ${}a\geq b$ gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ mit ${}a=b+c$ gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$:

1. Es ist ${}a\geq a$ (dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
3. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq a$ folgt ${}a=b$ (dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
4. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (dies nennt man die Additivität der Ordnung).
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\in \mathbb {N}$ folgt ${}c\cdot a\geq c\cdot b$ (dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\in \mathbb {Z} _{-}$ (also ${}c$ negativ) folgt ${}c\cdot a\leq c\cdot b$.

Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.