Nebenbedingung/Quader/Goldfolie/Aufgabe/Lösung

a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als

$f(a,b,c)=abc=1000$

und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor $2$) als

$h(a,b,c)=ab+ac+bc.$

Die Ableitungen in einem Punkt  $P=(a,b,c)$  sind

${\left(Df\right)}_P=(bc,ac,ab)$

und

${\left(Dh\right)}_P=(b+c,a+c,a+b).$

Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als

$\left(\begin{array}{c}b+c\\ a+c\\ a+b\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}bc\\ ac\\ ab\end{array}\right).$

Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf

$b-a=\lambda c(b-a),c-a=\lambda b(c-a),c-b=\lambda a(c-b).$

Wären die drei Zahlen $a,b,c$ alle untereinander verschieden, so würde sich durch Kürzen sofort der Widerspruch

$\frac{1}{\lambda }=a=b=c$

ergeben. Bei

$a=b\ne c$

ergibt sich

$\frac{1}{\lambda }=a$

und daraus mit der zweiten Zeile

$a+c=c,$

also

$a=0,$

was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also

$a=b=c$

(und $\lambda =\frac{2}{a}$). Wegen

$abc=1000$

ist dieser Punkt $(10,10,10)$.

b) Wir arbeiten mit der Abbildung

$\psi :{ℝ}_{+}^2⟶{ℝ}^3,(a,b)⟼(a,b,\frac{1000}{ab}).$

Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von $(10,10)$ und einer offenen Umgebung von $(10,10,10)$ der Faser von $f$, sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion

$\tilde{h}=h\circ \psi$

in $(10,10)$ ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt

$\tilde{h}(a,b)=ab+a\frac{1000}{ab}+b\frac{1000}{ab}=ab+\frac{1000}{b}+\frac{1000}{a}.$

Das totale Differential davon ist

$(b-\frac{1000}{a^2},a-\frac{1000}{b^2})$

mit dem kritischen Punkt $(10,10)$. Die Hesse-Matrix dazu ist

$\left(\begin{array}{cc}\frac{2000}{a^3}& 1\\ 1& \frac{2000}{b^3}\end{array}\right).$

Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist

$4-1=3>0.$

Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.

c) Es sei

$a\le b\le c.$

Die Zielfunktion ist jetzt

$g(a,b,c)=3ab+ac+bc.$

Die Lagrange-Bedingung ist somit

$\left(\begin{array}{c}3b+c\\ 3a+c\\ a+b\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}bc\\ ac\\ ab\end{array}\right).$

Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist

$3(b-a)=\lambda c(b-a).$

Bei  $a\ne b$  ergibt sich

$3=\lambda c$

und daraus mit

$3b+c=\lambda bc=3b$

der Wert

$c=0,$

was nicht erlaubt ist. Also ist

$a=b.$

Aus

$2a=\lambda a^2$

folgt

$\lambda =\frac{2}{a}.$

Aus

$3a+c=\lambda ac=2c$

ergibt sich

$c=3a.$

Aus der Volumenbedingung

$1000=aa(3a)=3a^3$

folgt

$a=b=\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$

und

$c=10\cdot 3^{2/3}.$

Zur gelösten Aufgabe