Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Multiplizität/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${}V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq K^{2}$ und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden ${}G_{\alpha }$, die durch

${}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}t+b_{1}\\a_{2}t+b_{2}\end{pmatrix}}\,$

parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung

${}-a_{2}^{3}t^{3}+{\left(a_{1}^{2}-3a_{2}^{2}b_{2}\right)}t^{2}+{\left(2a_{1}b_{1}-3a_{2}b_{2}^{2}\right)}t+b_{1}^{2}-b_{2}^{3}=0\,$

für ${}t$. Bei ${}a_{2}=0$ hat dies den Grad ${}2$, andernfalls den Grad ${}3$. Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade

${}\alpha (t)={\begin{pmatrix}2t+1\\1t+1\end{pmatrix}}\,$

führt beispielsweise zu

${}-t^{3}+t^{2}+t=-t{\left(t-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}{\left(t-{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}\,$

mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade

${}\beta (t)={\begin{pmatrix}t+1\\t+1\end{pmatrix}}\,$

führt hingegen zu

${}-t^{3}-2t^{2}-t=-t{\left(t+1\right)}^{2}\,$

mit der doppelten Nullstelle bei ${}t=-1$. Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als

${}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t\,$

ansetzen, was zur Bedingung

${}-a_{2}^{3}t^{3}+a_{1}^{2}t^{2}=0\,$

führt. Hierbei ist

${}t=0\,$

stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei ${}a_{1}=0$ sogar eine dreifache Nullstelle.