Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Multiplizität/Beispiel

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Wir betrachten die Neilsche Parabel und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden , die durch

parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung

für . Bei hat dies den Grad , andernfalls den Grad . Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade

führt beispielsweise zu

mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade

führt hingegen zu

mit der doppelten Nullstelle bei . Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als

ansetzen, was zur Bedingung

führt. Hierbei ist

stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei sogar eine dreifache Nullstelle.