Neilsche Parabel/Tangentialbündel/Beispiel

Zur Gleichung

${}X^{2}=Y^{3}\,$

gehört die Gleichung für die Differentiale

${}2XdX=3Y^{2}dY\,.$

Wir schreiben ${}A=2dX$ und ${}B=3dY$ und erhalten das Gleichungssystem

$X^{2}=Y^{3},\,XA-Y^{2}B.$

Es ist

${}{\begin{aligned}Y^{2}(YA-XB)&=Y^{3}A-XY^{2}B\\&=X^{2}A-XY^{2}B\\&=X(XA-Y^{2}B)\end{aligned}}$

und somit ist, wenn ${}Y$ ein Nichtnullteiler ist, auch ${}YA=XB$. Wegen

${}{\begin{aligned}(YA-XB)^{2}&=Y^{2}A^{2}+X^{2}B^{2}-2YAXB\\&=Y^{2}A^{2}+Y^{3}B^{2}-2Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}A^{2}-Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}(A^{2}-YB^{2})\end{aligned}}$

sieht man, dass die Primideale ${}(X,Y)$ und ${}(X^{2}-Y^{3},A^{2}-YB^{2})$ die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch ${}(X,Y,A)$ gegebene Gerade. Die Parametrisierung ${}X=T^{3}$ und ${}Y=T^{2}$ liefert wegen ${}dX=3T^{2}dT$ und ${}dY=2TdT$ die (bis auf einen Faktor) Liftung ${}A=T^{2}$ und ${}B=T$.