Nenneraufnahme/Z an einem Element/Endlich viele Zwischenringe/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R$ ein Unterring, also ${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}$, und seien ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ die verschiedenen Primfaktoren von ${}n$. Es sei ${}I\subseteq \{1,\ldots ,s\}$ derart, dass genau für ${}i\in I$ gilt: ${}{\frac {1}{p_{i}}}\in R$. Es sei ${}m=\prod _{i\in I}p_{i}$. Wir behaupten die Gleichheit

$R=\mathbb {Z} _{m}.$

Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus ${}\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ gibt.

Die Inklusion ${}\mathbb {Z} _{m}\subseteq R$ ist klar. Ein Element links hat die Gestalt

${\frac {a}{m^{r}}}=a\prod _{i\in I}\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)^{r}\in R.$

Es sei umgekehrt ${}f\in R$. Wegen ${}R\subseteq \mathbb {Z} _{n}$ kann man schreiben

$f={\frac {b}{n^{r}}}={\frac {c}{d}}$

Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler ${}c$ und Nenner ${}d$ teilerfremd sind. Angenommen, ${}p$ sei ein Primteiler von ${}d$, der nicht zu ${}p_{i}$, ${}i\in I$, gehöre. Schreibe ${}d=p^{s}t$ mit ${}t$ und ${}p$ teilerfremd. Wir multiplizieren ${}f$ mit ${}t$ und erhalten

$ft={\frac {c}{p^{s}}}\in R.$

Hierbei ist insbesondere ${}p$ zu ${}c$ teilerfremd. Es sei ${}uc+vp^{s}=1$. Dann ist

${\frac {uc}{p^{s}}}={\frac {1-vp^{s}}{p^{s}}}={\frac {1}{p^{s}}}-v.$

Daraus folgt ${}{\frac {1}{p^{s}}}\in R$ und damit ${}p^{s-1}{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{p}}\in R$, Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe