Nenneraufnahme/Z an einem Element/Endlich viele Zwischenringe/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei ein Unterring, also , und seien die verschiedenen Primfaktoren von . Es sei derart, dass genau für gilt: . Sei . Wir behaupten die Gleichheit

Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus gibt.

Die Inklusion ist klar. Ein Element links hat die Gestalt

Sei umgekehrt . Wegen kann man schreiben

Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Angenommen, sei ein Primteiler von , der nicht zu , , gehöre. Schreibe mit und teilerfremd. Wir multiplizieren mit und erhalten

Hierbei ist insbesondere zu teilerfremd. Sei . Dann ist

Daraus folgt und damit , Widerspruch.