und sagt: „ ist der Logarithmus von zur Basis “. heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.[1]
Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.[2]
Passend zu ist also .
Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel
Um Logarithmen zur Basis mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang
denn mit gelten die Umformungen
Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.
Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion[Bearbeiten]
Der Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.
Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion , mit der Basis ( und ).
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen[Bearbeiten]
Neben der allgemeinen Schreibweise
gibt es noch weitere spezielle Bezeichnungen, je nach benutzter Basis .
Wir definieren die quadratische Funktion
Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich und Wertebereich von .
Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert bzw. annehmen können.
In die Funktion dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also .
Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt ). Der Wertebereich ist also .
Mathematische Notation der Quadrat-Funktion
Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt.
Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall , gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: ).
Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :. Ebenso ist der Wertebereich definiert.
Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen und . Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion . Die Definition von ist:
Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder herauskommt.
In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis , hier benannt als , können alle rellen Zahlen eingesetzt werden ().
Alle Funktionswerte von sind größer als , der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer ().
In anderen Worten kann zwischen und liegen, also .
Die Funktionswerte sind größer , also .
Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis ) nacheinander ausführen. Wir führen zuest aus und dann , bennenen wir dies als dann gilt:
In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen , die in die Funktion mit eingesetzt werden dürfen.
In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von .
Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. soll die Funktion sein bei der zuerst und dann ausgeführt wird.
Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von und verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92