Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Für die Nenneraufnahmen gelten

${}M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$

mit ${}h-f=b$ und entsprechend für ${}M_{g}$. Es ist

${}M_{g+f}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung

${}U=D(f)\cup D(g)\,$

ist daher gleich ${}\mathbb {Z} /(n)$. Die Kohomologieklasse

${}c=i(h-f-g)\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })_{\operatorname {tor} }\cong \mathbb {Z} /(n)\,$

wird durch das kombinatorische ${}{\mathbb {A} }_{}^{\times }$-Bündel realisiert, das durch die Identifizierung

$\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {Z} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {Z} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$

gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung

$\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {N} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {N} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$