Noetherscher Ring/Unterring/Aufgabe/Lösung

Man betrache den Polynomring in zwei Variablen über einem Körper $K[X,Y]$. Dieser ist offensichtlich noethersch. In diesem Ring betrachte man den Unterring $A:=\lbrace Xg(X,Y)+c\mid g\in K[X,Y],c\in K\rbrace$ und darin die Idealkette $I_{n}=(X,XY,...,XY^{n})$. Dann ist $XY^{n+1}\in I_{n+1}\setminus I_{n}\ \forall n\in \mathbb {N}$ und somit wird die Kette nicht stationär. A ist also nicht noethersch.