Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist ${}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}u-v=0$, also ${}u=v$ ist.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$

3. Für beliebiges ${}w\in V$ ist nach der Definition einer Norm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage