Nullstelle/x^3-3x+1/0 bis 1/Achtel/Aufgabe/Lösung

Wegen ${}f(0)=1$ und ${}f(1)=-1$ muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall ${}[0,1]$ eine Nullstelle von ${}f$ liegen.

Die Intervallmitte ist ${}{\frac {1}{2}}$ , dort hat ${}f$ den Wert

{}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {1-12+8}{8}}=-{\frac {3}{8}}\,.

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[0,{\frac {1}{2}}]$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {1}{4}}$ , dort hat ${}f$ den Wert

{}f{\left({\frac {1}{4}}\right)}={\left({\frac {1}{4}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{4}}\right)}+1={\frac {1-48+64}{64}}={\frac {17}{64}}\,.

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall

{}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]

liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {3}{8}}$ , dort hat ${}f$ den Wert

{}f{\left({\frac {3}{8}}\right)}={\left({\frac {3}{8}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {3}{8}}\right)}+1={\frac {27-576+512}{512}}=-{\frac {37}{512}}\,.

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall

{}[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}}]=[{\frac {2}{8}},{\frac {3}{8}}]

liegen. Die Länge dieses Intervalls ist

{}{\frac {1}{8}}

.