Nullstellen/x^2 + sin x/Aufgabe/Lösung

Bei ${}x=0$ liegt eine Nullstelle vor. Auf ${}]0,\pi [$ sind beide Summanden positiv, und für ${}x\geq \pi$ ist ${}x^{2}\geq 9$, sodass, da ${}\sin x$ zwischen ${}{-1}$ und ${}1$ liegt, jenseits von ${}0$ keine Nullstelle liegen kann. Für ${}x<-1$ ist wiederum ${}x^{2}>1$, sodass unterhalb von ${}{-1}$ auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ${}[-1,0]$ ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

${}f'(x)=2x+\cos x\,.$

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf ${}]{-1},0[$ höchstens eine Nullstelle. Es ist ${}f'(0)=1>0$, sodass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf ${}]{-1},0[$ auch negative Werte annehmen. Wegen ${}f(-1)=1+\sin \left(-1\right)>0$ muss ${}f$ nach dem Zwischenwertsatz in ${}]{-1},0[$ mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen ${}{-1}<c<d<0$ geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf ${}]c,d[$ als auch auf ${}]d,0[$ eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.

Zur gelösten Aufgabe