Nullstellen/x^2 + sin x/Aufgabe/Lösung

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Bei liegt eine Nullstelle vor. Auf sind beide Summanden positiv, und für ist , so dass, da zwischen und liegt, jenseits von keine Nullstelle liegen kann. Für ist wiederum , so dass unterhalb von auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf höchstens eine Nullstelle. Es ist , so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf auch negative Werte annehmen. Wegen muss nach dem Zwischenwertsatz in mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf als auch auf eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.
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