Numerisches Monoid/M + und n-fach/Maximales Ideal und Potenzen/Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid und ${}K$ ein Körper. Definiere

$M_{+}=M\cap \mathbb {N} _{+}{\text{ und }}nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\ldots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}.$

Zeige, dass ${}nM_{+}$ „Ideale“ in ${}M$ sind, dass zu ${}M_{+}$ ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}K[M]$ gehört, und dass das zu ${}nM_{+}$ gehörige Ideal gleich ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ ist.

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