Numerisches Monoid/N ab e/Hilbert-Funktion/Aufgabe

Es sei ${}e\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}M:=\{0\}\cup \mathbb {N} _{\geq e}\subseteq \mathbb {N}$.

1. Bestimme ${}nM_{+}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.
2. Bestimme ${}{\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und setze ${}R=K[M]_{\mathfrak {m}}$ mit ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})\subseteq K[M]$. Bestimme ${}\dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}$.

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