Obere Dreiecksmatrix/1/Winkeltreu/Identität/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten ${}k$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${}0$ stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Es sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten ${}k$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${}0$ stehen. Wir betrachten die ${}k+1$-te Spalte

${\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}.$

Da ${}\varphi$ winkeltreu ist, ist insbesondere

${}\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Die Spalten der Matrix sind ${}\varphi (e_{j})$. Daher ist für

${}i<k+1\,$

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${}0=\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{k+1})\right\rangle =\left\langle e_{i},{\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{i\,k+1}\,,$

d.h. auch die Einträge in der ${}k+1$-Spalte oberhalb der Diagonalen sind ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe