Obere Dreiecksmatrix/2/R/X^2+3X-4 annulliert/Aufgabe/Lösung

Die Gesamtbedingung führt wegen

${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}&ab+bd\\0&d^{2}\end{pmatrix}}\,$

auf

${}{\begin{pmatrix}a^{2}&ab+bd\\0&d^{2}\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und somit auf die drei Bedingungen

${}a^{2}+3a-4=0\,,$

${}d^{2}+3d-4=0\,$

und

${}(a+d+3)b=0\,.$

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt

${}a,d=1,-4\,.$

Bei  ${}b=0$  sind also

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4&0\\0&-4\end{pmatrix}}$

Lösungen. Bei  ${}b\neq 0$  muss zusätzlich

${}a+d=-3\,$

sein, und daher sind

${\begin{pmatrix}1&b\\0&-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4&b\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ mit }}b\neq 0$

weitere Lösungen.

Zur gelösten Aufgabe