Obere Dreiecksmatrix/44/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&1&0&4\\0&-1&2&1\\0&0&-1&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\,$

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Hier gibt es zwei Eigenwerte und somit zwei zweidimensionale Haupträume, die getrennt behandelt werden können. Es ist

${}M-3E_{4}={\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

somit gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ zum Kern. Die Determinante der Untermatrix rechts oben ist nicht ${}0$, daher ist der Rang der Matrix gleich ${}3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&-4&2&1\\0&16&-16&-4\\0&0&16&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

ein neues Kernelement ist ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}$. Es ist also

${}\operatorname {Haupt} _{3}(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

können die Vektoren ${}{\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}$ zum Aufstellen des ersten Jordanblockes verwendet werden.

Es ist

${}M+1E_{4}={\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}\,,$

somit gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}$ zum Kern. Der Rang der Matrix ist wieder gleich ${}3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&4&2&33\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&16\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

ein neues Kernelement ist ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$. Es ist also

${}\operatorname {Haupt} _{-1}(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Wegen

${}{\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

können die Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$ zum Aufstellen des zweiten Jordanblockes verwendet werden. Insgesamt besitzt also ${}M$ bezüglich der Basis

${\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$

die jordansche Normalform

${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$