Obere Dreiecksmatrix/Invertierbar/Inverse Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ mit

${}a_{ij}=0\,$

für ${}i>j$ und sei

${}M\circ N=E_{n}\,$

mit ${}N={\left(b_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Es ist ${}a_{nn}\neq 0$, da sonst die letzte Zeile von ${}M$ die Nullzeile wäre, was im invertierbaren Fall nicht sein kann. Wir betrachten die Produkte der ${}n$-ten Zeile von ${}M$ mit den Spalten von ${}N$. Dies führt zu den Bedingungen ${}a_{nn}\cdot b_{nj}=0$ für ${}j<n$ und daraus folgt ${}b_{nj}=0$ für ${}j<n$.

Das gleiche Argument, angewendet auf die Untermatrix ${}{\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}$ ergibt Zeile von Zeile das Resultat.

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