Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt

Die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

sind zueinander inverse biholomorphe Abbildungen zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen