Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt

Die Abbildungen

$\phi :ℍ⟶U(0,1),z⟼\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}},$

und

$\psi :U(0,1)⟶ℍ,w⟼\frac{(w+1)\mathrm{i}}{1-w},$

sind zueinander inverse biholomorphe Abbildungen zwischen der oberen Halbebene $ℍ$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U(0,1)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen