Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $L^{\prime }(z)=\frac{1}{z}$,  wobei $L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

$e^{L(z)+c}=e^{L(z)}{e}^c=z.$

Für einen beliebigen Punkt  $z_0\in U$  legt diese über

$e^c=z_0{e}^{-L(z_0)}$

ein (nicht eindeutiges) $c_0$ fest. Es gilt dann

$\left(e^{L(z)+c_0}\right)=\frac{1}{z}\cdot e^{L(z)+c_0}$

und

${\left(e^{L(z)+c_0}\right)}^{\prime \prime }=\frac{1}{z^2}(z\left(e^{L(z)+c_0}\right)-e^{L(z)+c_0})=\frac{1}{z^2}(\left(e^{L(z)+c_0}\right)-e^{L(z)+c_0})=0.$

Also ist

$\left(e^{L(z)+c_0}\right)=\frac{1}{z}\cdot e^{L(z)+c_0}=d$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_0$ und damit ist

$e^{L(z)+c_0}=dz$

und wegen der durch $z_0$ festgelegten Bedingung ist  $d=1$. 

Zur bewiesenen Aussage