Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei ${}L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}z_{0}$ und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist ${}d=1$.

Zur bewiesenen Aussage