Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f_{n}$ kompakt konvergent und sei  ${}P\in T$.  Zu einer offenen Ballumgebung  ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$  ist der abgeschlossene Ball ${}B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei  ${}K\subseteq T$  eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung  ${}K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$  mit in ${}T$ offenen Teilmengen ${}U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem ${}U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf ${}K$.

Zur bewiesenen Aussage