Offene und abgeschlossene Mengen/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}\epsilon >0$. Wir definieren ${}T_{\epsilon }(M):=\{x\in \mathbb {R} :\vert {x-a}\vert >\epsilon {\text{ für alle }}a\in M\}$. Zeige die folgenden Aussagen:

1. Falls ${}M$ offen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ abgeschlossen.
2. Falls ${}M$ abgeschlossen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ offen.
3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.

Eine Lösung erstellen