Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe/Lösung

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Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist

Die partiellen Ableitungen davon sind

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

woraus

folgt. Daher ist

und der einzige kritische Punkt ist

Die Hesse-Matrix von ist

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist