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Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe/Kommentar

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Wie in Beispiel erläutert, stammt der Name „lexikographische Ordnung“ von der Art und Weise, wie Wörter in einem Wörterbuch angeordnet sind. Wenn z.B. das deutsche Alphabet ist, dann ist eine geordnete Menge mit der offensichtlichen totalen Ordnung:

     < a < ä < b < c <  < x < y < z,

wobei das Leerzeichen bezeichnet. Diese Ordnung induziert die sogenannte „lexikographische Ordnung“ auf die Menge aller deutschen Wörter, die verwendet wird, um Wörter in einem Wörterbuch anzuordnen: wenn man zwei Wörter und (z.B. = "Vorlesung" und = "Vorlesen") vergleichen möchte, werden die Wörter zunächst als gleich lang angesehen, indem dem kürzeren Wort Leerzeichen hinzugefügt werden (z.B. = "Vorlesung" und = "Vorlesen"). Dann definiert man (d.h. kommt vor in einem Wörterbuch, das beide Wörter enthält) wenn an der ersten Stelle von vorne gelesen, wo sich und unterscheiden, der Buchstabe von an dieser Stelle kleiner als der Buchstaben von an dieser Stelle ist (also "Vorlesen" < "Vorlesung", da V = V, o = o, r = r, l = l, e = e, s = s, e < u).


Die obigen Überlegungen können direkt auf jede total geordnete Menge erweitert werden: Für mit definiert man falls oder ein existiert mit

Man überprüft leicht, dass dies eine Ordnung auf ist. Die Linearität sieht man so: wenn , dann existiert ein mit . Da eine total geordnete Menge ist, gilt entweder oder . Somit ist entweder oder .
Zur kommentierten Aufgabe